热烈庆祝16阶3重幻方问世

敬告全国幻方朋友 ，大家好！

幻方爱好者梦寐以求的规则的16阶3重幻方终于问世了，2005年5月8号我们刚刚庆祝了中国幻方研究者协会成立七周年，在我国广东汕头大学有两位幻方研究工作者，他们的努力奋斗与合作，为我国幻方的发展创造了一项奇迹，这一天16阶3重幻方在汕头大学的一台电脑中诞生了，它来到这个世界上，似乎无声无息，但他却震撼了两位探索者的心，他们高兴得几乎要喊叫出来，多少年的盼望，多少个日日夜夜的奋战，多少次失败的考验，终于感动了上天，它终于悄然问世，这正是：

众里寻她千百度…… 蓦然回首，那人却在， 灯火阑珊处。

从此 ，陈钦梧、陈沐天两人的名字，与16阶3重幻方连在一起，向世界各地传播！

陈沐天，1935年6月生，上海市人，文化程度研究生，汕头大学计算机系教授。1960年毕业于北京大学数学系研究生，从事高等教育，以及科研工作40余年。1981年8月~1982年10月在美国Rochester大学计算机系访问及工作，八十年代曾两次获国家自然科学基金。曾培养硕士研究生多名。发表了关于计算机理论及人工智能方面论文多篇，如《 超协调限制逻辑的计算复杂性分析》等，1990年获广东省科技进步二等奖。在1980年3月在北京大学学报上发表了一篇《幻体的构作》的文章。

陈钦梧，汕头大学计算机高级实验师，广东潮阳人。1983年中山大学物理系微型计算机应用专业本科毕业。主要研究方向为汉字信息处理、软件加解密、计算机多媒体教学。 获一项国家发明专利“一种汉字数字编码输入法”。承担的主要课题有“汉字数字编码输入法的设计实现”，“汉语字、词合一输入法的设计实现”。独立开发研制成功的软件有：“LQK汉字打印驱动程序”、“NECP3汉字打印驱动程序”、“烂柯CCBIOS汉字系统”、“通用打印机高精度汉字打印程序”、“TEC-2交叉汇编、编辑、调试集成环境”。发表主要论文有：“TURBO PASCAL几个实际问题研讨”、“中断处理程序扩充最有效的方法”、“汉字输入新技术研究”、“计算机组成结构多体教学浅探”等十多篇。承担过的主要课程：计算机组成原理实验、计算机系统结构实验、数字逻辑电路实验、计算机的安装与维护维修、CorelDraw绘图与设计、汇编语言程序设计、AutoCAD计算机辅助设计、计算机保养与维护、计算机基础、电路分析实验。业余爱好广泛：1981年获中山大学学生国际象棋比赛冠军，1992年、2004年获汕头大学教职工中国象棋比赛冠军。作为汕头大学乒乓球队主力队员，多次获得校际、校内团体比赛冠军。

陈沐天教授早就对幻方情有独钟，有浓厚的兴趣 , 他知道研究幻方不但可从中找到乐趣，而且幻方也有许多应用价值，比如幻方被应用在人工智能、图论、对策论、实验设计、工艺美术、电子回路原理、位置解析学。还有近来被应用在算法的改进，并行处理、经济决策调度、密码设计，图象安全处理，工程可能性估计等方面。在退休后，陈沐天教授对幻方仍然念念不忘，他在网上和书籍当中了解了不少幻方知识以及我国幻方研究发展的动态，甚至他也了解了世界各地的幻方研究情况，他希望自己在退休的生活当中对幻方再有些贡献，于是他花了大量的时间去钻研幻方。

翻开幻方的悠久历史，在趣味数学当中显得十分神秘。距今四千年前的“神龟载洛书”的故事就是幻方的起源，因而在国际上我们中国被称为幻方的故乡。我们著名数学家杨辉是第一个把洛书作为数学问题进行研究，杨辉之后，对幻方的研究相继不断，宋代丁易东、明朝王文素、程大位，清朝保其寿、方中通、张潮，以及我国著名数学家李俨，还有许多近代学者们，都为幻方的发展做出了贡献。在上海博物馆有一块在陆家咀发掘出来的明代宝玉，这块宝玉的一面竟刻有一个四阶幻方。而在陕西博物馆中，陈列着一块西安元代安西王府旧址出土的铁板，这块铁板上也刻制着一个六阶幻方。从这两件文物可看出，我国古代确实对幻方有精深的研究，并代代相传，引此为荣。我国的幻方后来传 到了国外，幻方多彩的变幻特征吸引了许多国外的数学家们。著名的数学家欧拉和汉弥尔登，大发明家富兰克林都对幻方有过深入的探讨。在16、17世纪，西方构造幻方非常盛行，德国的阿古利巴创作了3—9阶幻方，并用太阳系的七星来命名，法国人卢贝尔出版了欧洲最早的论及幻方的著作，其后法国人伊尔用拉丁方研究幻方取得重大突破。那时，人们把富有特色的幻方刻在银版或玉佩上作为护身符带在身上，德国画家杜勒甚至把一个标有年份的四阶幻方刻制在版画当中，广为流传。当我国的幻方传到了日本、印度及阿拉伯等国家后，也引起了他们的极大兴趣，并提出“魔立方体”、“魔术矩形”等新概念。在印度瓜星欧城的一座堡垒的大门上，刻制着一个四阶幻方，是印度拿西克所造，后传到了英国。在一些游人容易看到的碑文上，大厅的地板上也出现幻方佳品供人观赏。

幻方的每行每列及两对角线，所含数字的和相等，因而它被称为均衡的典范。可是人们想不到的是，k次幻方的各线不仅和相等，而且平方和、立方和、直到k次方和都相等，它们就像层层而上的灯塔，具有强烈的数学美的魅力。1892年一个叫Frolow的法国人首先发现了八阶平方幻方和九阶平方幻方。平方幻方那种双重的均衡性引起人们的极大兴趣。此后人们便在平方幻方的基础上，探讨3重幻方。3重幻方的各行、各列及两对角线所含各数之和、平方和、立方和均相等，其编制有一定的难度，而阶数越低则难度越大。在上世纪五六十年代，美国的亨利先生编成一个128阶3重幻方。十几年后，加拿大的考克斯特教授又宣布构造出一个64阶3重幻方。可惜这两个幻方由于数字太多，它们并没有被公之于众。因此人们希望降低幻方的阶数，想方设法构造出在一张纸上能够容纳下的3重幻方。上世纪90年代，国外的幻方资料不断地传进中国，其中高次幻方的佳品引起我国幻方爱好者的极大兴趣。他们知道，中国作为幻方的故乡，如果没有平方幻方、3重幻方的成果，似乎有点说不过去。为了祖国在这个领域的荣誉，1991年山东吴硕辛创造了一种mi（q）语言，可直接演算出八阶、九阶、16阶平方幻方，以及64阶、32阶3重幻方。可是由于他只重视幻方理论的研究，并未将这些成果发表出来。在1991年、丁宗智、孙友在1992年各出版了名为《幻方》的著作，在他们的书中，都有大量的平方幻方、双重幻方的研究和佳品。1993年福建苏茂挺、上海戴宏图在《科学画报》中发表了《巧妙的32阶3重幻方》一文，对幻方爱好者影响很大。后来我们进一步了解到，上海俞润汝、江苏钱剑平、安徽刘霞也分别构造出性质更完美的32阶3重幻方。1995年10月，贵州施学良在他的96万字的幻方专著中发表了32阶、64阶、81阶3重幻方。从而3重幻方的研究，展现出丰富多彩的景象。如今32阶3重幻方，在我国能够构造出成千上万种，简直到了十分自如的地步。这时候人们将研究的目标瞄准16阶3重幻方，几乎所有的人都认为16阶3重幻方是存在的。

对于3重幻方而言，则应该阶数越低越好，从构造的难度来看，这是另一场国际性的超级竞赛。显然在3重幻方的系列中，16阶3重幻方是幻方宫殿中最耀眼的明珠，是全世界幻方研究历史中的最重要的里程碑，中国幻方迷们为了赢得祖国的荣誉，纷纷向16阶3重幻方的高峰发起冲锋。

延安高源首先构造成一个16阶行3重幻方，即各行数字的三次方和均相等的平方幻方。西北老人孙友，在重病中思考16阶3重幻方的布局结构，直到送往医院治疗。80多岁的东北老人滕越先生探索16阶3重幻方5、6年，在临终前，将64张幻方手稿寄往延安、芜湖。通过考察,发现滕越先生研究幻方付出了大量的心血,虽然他付出了艰难的历程.但他所编造的16阶幻方大多是16阶行3重幻方,也可以说是具有特色的16阶平方幻方.东南江苏钱剑平先生，构造成接近的16阶3重幻方。如果不受1——16²这256个数的约束，16阶3重幻方的构成就容易多了，2001年李文、郭先强、苏茂挺分别编成了广义的16阶3重幻方，他们都在16阶3重幻方的探索历程中洒下了热情的汗水。还有大量的学者，通过电脑程序，对16阶3重幻方进行了艰苦的搜索。安徽芜湖王忠汉老师经过努力获得了更好的结果，他构造的16阶平方幻方，其16行14列所含的数的立方和相等，仅有两行及两条对角线不满足条件，可以说万里长征只差一步。可这最后一步，也许更艰巨，是万丈悬崖，需要后来者重新开劈一条新路攀上去。

幻方迷们的成果是经过日夜操劳后获得的，甚至在半夜三更有了灵感，他们就会立即起来，一直研究到天亮。他们不仅牺牲了许多休息日，而且为此损坏了宝贵的身体的也大有人在。各位幻方爱好者为探索16阶3重幻方，变得人憔悴，饭不香，觉不眠。不过，中国幻方迷们，从来没有停止探索的脚步。延安高源先生为了鼓励更多的人向16阶3重幻方进军，在1997年设奖1997元征解16阶3重幻方。全文如下：

《有奖构造幻方》： 幻方起源于中国，现已传播至世界各地，并取得了可喜的发展, 法国人里利于1901 年编制了8阶平方幻方，后来美国的亨特先生编出了一个128阶3重幻方；多年后，加拿大多伦多大学的考克斯特教授又宣布了一个64阶3重幻方，可惜他们都未将结果公之于众。 1993年中国幻方专家苏茂廷、戴宏图、施学良几乎在同一段时间内编成了32阶三次幻 方。苏、戴合作所造幻方发表在《科学画报》上；施学良的32阶次幻方发表在他的96 万字的幻方巨著中。 3重幻方的各行、各列及两对角线所含各数之和、平方和与立方和均相等。其编制有一定的难度，而阶数越低则难度越大。目前，我国的32阶3重幻方已居世界领先地位，接着就该攀登16阶3重幻方世界最高峰了,谁将是胜利者? 为了幻方研究的迅速发展，鼓励幻方爱好者及青少年热爱科学研究的精神，幻方专家高源先生特设奖金1997元，征求编制16阶3重幻方。如能用1—256中各数构成l 6阶3重幻方，经专家鉴定确认后即可获得此项奖金，时间不限。1997元虽然不是巨奖，但此奖设立于具有伟大历史意义的党的十五大召开及香港回归的1997年，却是十分有意义的。能攀上3重幻方顶峰的胜利者是无上光荣的，祝朋友们成功!

幻方的丰富多彩的变幻及巧妙和谐的结构体系，能够引起人们强烈的好奇心，这正是幻方研究者们对幻方入迷的主要原因。其实，研究幻方就要与繁锁的数字打交道，他们不仅能享受到发现的喜悦，获得幻方的均衡对称美的欣赏，而且也要经历意志的磨练，体验着跋涉的艰辛。陈沐天教授喜欢幻方研究，就选择了高次幻方作为主攻方向，他的电脑理论水平很高，他决心用自己的计算机知识为祖国的幻方事业做出贡献。他约花了一年时间，计算出11阶二次幻方，但这个成果由芬兰的Fredrik Jansson先生抢先搞成了。后来他在法国的一个高次幻方网站上知道，法国人Gaston Tarry1905年也曾搞成一个128阶3重幻方，法国General Eutrope Cazalas 在1933年得到64阶3重幻方，但同时他说32阶3重幻方是美国William H. Benson 在1976 年就构造成功了，这个报道让中国幻方爱好者感到难过，因为过去在交流困难的情况下，各种报道总是不全面的，而这个网站是2002年搞成的。因此32阶3重幻方究竟是中国人首先搞成，还是美国人第一个构成，已成了国际性的争论。但陈沐天教授知道32阶3重幻方已经成了历史，16阶三次幻方才是当今世界各地幻方研究者正在激烈争夺的目标。如法国人Christian Boyer，德国人Walter Trump，加拿大人Holger Danielsson，日本Riu Nakazato等外国幻方朋友，都为摘下这一颗幻方明珠在努力。陈沐天教授也决心攀登这一幻方高峰。

从事幻方的研究是十分艰苦的，陈沐天教授为探索16阶3重幻方已经花费了多年的心血了，他编得程序改了又改，他利用学校最好的电脑将自己编好的一个程序，有时要运行几十个小时，却毫无结果。但他仍然努力探索着，决不退缩。一天，他将自己的难题告诉自己年轻的同事陈钦梧，他想也许年轻人，会有一些新的想法。陈沐天教授介绍了他求解中用到的一些有效方法，他用了一个16列已排列好满足要求的矩阵进行行的调整，陈钦梧因为工作繁忙，开始对陈沐天教授的问题并不感兴趣，后来他对自己的前辈所编的程序进行了分析，他思考这种程序为什么得不出结果的原因。求解16阶3重幻方，每一行的计算量是16¹⁶≈1.8×10¹⁹，即使用当今最快的超级计算机来求解，也要花数年时间才能知道结果。所以必须研究寻找一些规律来约束减少计算量，使普通计算机在有限时间内就能求解。陈沐天教授把程序分段运行，每天下午从6公里外进校来检查调整。陈钦梧看到前辈的辛苦，就建议将其程序移植到自己实验室的P4 2.0电脑全32bit环境下运行，可明显提高速度。果然，程序移植成功，一下就提升了约20倍的速度，这使他俩很兴奋。

陈钦梧在这个问题的探讨中，也逐渐入迷。他在分析16阶矩阵的结构及问题的特征后，感到在其行上使两数和接近255进行组合，将最有可能满足解的要求，这样就使计算量下降到16⁸≈4.3×10⁹，而汕头大学的实验室的电脑就有能力在短时间内解决问题。由于两数和为255的互补数组合已被列上占用了，他就想到使这两数高7位（二进制）相反，最低位相同（即Number2 = Number1 XOR $FE），相当于两偶数和为254，两奇数和为256，不但满足上述的要求，而且能从上述矩阵等价变换得到。陈钦梧将上述方法告诉陈教授，陈教授深知问题的复杂性，他说没那么容易，多少年来很多人为此付出了不懈的努力和长时间的探索，却至今还没有完全求解出来。但陈教授又想应该试一试，便鼓励陈钦梧去探索试验。

明知山有虎，偏向虎山行。由于进行上述的变换，需要另编程序，工作量很大，陈钦梧面对迷茫的数字草原，开始进行艰苦的探索了。陈钦梧写好了程序并输入电脑进行调试，果然发现问题的复杂性比预期的要大得多。经过几天的修改、调试，程序终于有了初步的结果。尽管没有全部16行都满足要求的解，却有很多很多满足条件的行。经反复调整，最多有8行能同时满足要求。于是他再编程序，将剩下8行的上述每两数组合拆开进行独立搜索。由于其运算量增加到8¹⁶≈2.6×10¹⁴，在运行几天后仍未运行完，却没有能增加一行满足要求。

他再次苦苦思索，并编程测试，发现若自己独立构造矩阵，当两组合数互补和为255时，则很快能产生16列都符合要求的很多矩阵，程序运行几个小时就生成了超过百万个结果，而仍未运行完毕。当两组合数为偏补（即上述两偶数和及两奇数和为254、256）时，程序能在短时间内找到12行都同时符合要求的矩阵。因此，他将上述构成矩阵所剩4行的组合数拆开，重新调整程序进行搜索，然而由于各种排列组合很多，程序运行多天仍未找到全部16行满足要求的解。

陈钦梧又苦思冥想检查程序的约束条件，想出了将上述调整行时，在同一列上取数的算法，改进为也可从相邻列上取数，果然增加了很多能同时12行满足要求的矩阵。由于计算量激增，几天过去，他同时开了几台电脑进行包抄，然而程序仍未运行完毕。虽然12行同时满足要求的很多，有几万个了，却未增加更多的行数。

突破性进展出现在陈教授与陈钦梧再次会面共同分析以后，他们的结合是如此的和谐，往往能够为对方提供灵感，他们一个多月的努力奋斗与合作，不断改进调整方法，总是可以发现重要规律。陈教授几次将陈钦梧得到的数据拿去分析，他得知陈钦梧做出了上述能12行同时符合要求，而所剩4行的和及平方和也能满足条件时，他认为此结果非常有意义，已接近当今16阶幻方领先水平了。

尽管是五·一长假，然而陈钦梧和陈教授对幻方的研究仍未间断。在这次陈教授将数据拿去分析后第二天，他进校来验证其重要发现，并将其发现告诉了陈钦梧：若同一行上八对组合数满足要求，则必为4对偶数和4对奇数，并且这4对偶数、奇数组合的3重和分别为定值。陈钦梧又陷入沉思之中，他想若陈教授的发现是正确的，将极大的减少计算量。第二天，陈钦梧编程验证，果然证明上述发现没错。并且，陈钦梧又发现另一重要规律：若4对偶数组合3重和满足上述定值，则将各数简单加1变成4对奇数组合，其3重和也满足上述定值。这样，就使构成幻方的编程量又降低了一倍。

在对程序调整加上上述特征后，陈钦梧很快得到能同时有14行满足要求的矩阵，离最终结果仅差两行之遥了。

难道不存在满足这种特征的全解吗？尽管仍然是五·一长假，陈钦梧却为此疲于奔命。他又研究20、24、28、32阶3重幻方。24阶的有22行同时满足要求的，且多如牛毛，一天下来就有几十万个，但至今仍未完成；32阶的一下就有32行都满足要求的，但调整列时，因运算量巨大，暂无结果。心有不甘，陈钦梧又反思16阶3重幻方。由于早先计算量巨大，故搜索算法仅在同列及邻列取数。而如今程序很快结束，完全有能力编写全矩阵空间的搜索算法，以证明其解的存在性。

这天下午，陈钦梧又编写新的程序。由于其复杂性，加上连续紧张的长时间思考，以及近来都没有充分休息，所以开始并不顺利，累得他头痛不已，只好边休息边想。最终，程序正确运行了，并很快出来结果。他检查结果，猛然看到有全部16行都满足要求的了，心中抑制不住特别的兴奋。他立即想到那首诗歌：

众里寻她千百度。蓦然回首，那人却在，灯火阑珊处。

16行调整好后，16列及对角线的调整已如探囊取物。然而，由于中午没有休息，以及最后思虑过度，这时陈钦梧头痛仍未减缓。现在，他该好好休息休息了。

晚上，经过几小时放松后，陈钦梧的头痛才有了缓解。他接着将16列也排列好。

第二天上午，当陈钦梧将此振奋人心的结果告诉陈教授时，他高兴得跳了起来。这次他破例上午进校来，并立即编写搜索对角线的程序。

功夫不负有心人。一个月的心血没有白费。经过多少个日夜奋斗，克服重重困难，他们终于有了完美结果。16阶3重幻方，多少人日思夜想追梦的幻方啊，当这个美丽的数字方阵悄然出现在这个世界上时，两位探索者，感到打开了美丽的宝藏，像看到了金光闪闪的明珠，他们心中被一种无法形容的无限美丽包容着！

陈沐天教授说，他原来的失败也许就是因为追求对称而导致的，追求对称在构造32阶3重幻方是一个好的思路，但16阶3重幻方的特殊性，追求对称却成了一个陷阱，谁进去就会在哪个对称的旋涡里打转转。但他们却追求一种偏对称，这种偏对称的思想正是两“陈”合作的思维结晶，比如对他们的16阶3重幻方进行列排序，我们看到列中对称的两个数字的和有两种：256、254，这种偏对称也许是打开16阶3重幻方的大门的钥匙，他们在这条路上的成功，为我们编造更多的16阶3重幻方指出了一条光明大道。

陈钦梧先生指出，16阶3重幻方大量存在，估计其数量有万亿（10¹²）个。但不要以为有这么多解，就可以碰运气找出其中一个来。事实上，16阶3重幻方存在的概率超乎想象的小，这是由于16阶方阵的组合数为256!=8.6x10⁵⁰⁶。所以不要以为等若干年后计算机的速度足够快了，就可以用穷尽算法把所有的解都找出来——如果那时超级计算机的速度是每秒万亿亿（10²⁰）次，运算万亿年（<10²⁰秒），那么找到一个幻方的可能性仍<10^-454。也许这就是许多人多年来找不到16阶3重幻方的原因！

陈钦梧、陈沐天两位先生成功了，我们为他们喝彩欢呼，因为他们为我们带来了我们多年期盼的美妙的组合，奇巧的数阵，均衡的布局，和谐的结构。很快，消息传到了祖国的大江南北，我国许多幻方爱好者，为他们的成果感到兴奋，中国幻方研究者协会主席李抗强老师写来了热情洋溢的祝贺词：十六阶3重幻方，确实是难以攻克的堡垒。自一九九七年到现在，已经有了七个年头，多少幻方专家为它付出了大量的心血，您终于取得了成功。这是为我们中国人争了光，我以个人的名义并代表中国幻方研究者协会的广大幻方朋友，向您与您的合作者致以最热烈的祝贺，并祝愿您取得更大的成果。预祝您的成果能够得到国际上的公认。幻方专家高源先生计划将1997年设的幻方奖金1997元亲自送往汕头大学，为陈钦梧、陈沐天两位先生的成功贺彩，但他们却希望将这项奖金，捐献给幻方协会，为我国的幻方普及再做贡献。消息传到了国外，外国幻方朋友为中国幻方研究者的最新成果感到震惊和敬佩，法国高次幻方网站站长Christian Boyer先生也发来了祝贺词，并立即在自己的幻方网站上，向全世界宣传了十六阶3重幻方在中国诞生的消息。从此，十六阶3重幻方与我们中国人联系在一起，与陈钦梧、陈沐天两位中国人的名字一起传诵世界各地，在这里所有的中国人，都会感到自豪。

相传远古的伏羲时代，有一神奇的龙马出现在孟津河边，身上背负着一种和谐布局的花点图案，正巧代表1—10这十个数字，人们称之为河图。在大禹治水的年代，又有神龟背负着另一张神秘的图案浮现于黄河支流洛河之中，人们将图案中的花点记录下来，竟惊奇地发现9 种花点数正好是1—9这9个数，各数位置的排列也相当奇妙，后来人们就称这个图案为洛书。中国的这两个河图洛书的故事已经流传了几千年了，随着历史的推演，河图洛书竟然成了中华文化宝殿中两颗璀璨夺目的明珠，它们不仅产生了中国的哲学易理思想，而且，直接推动了组合数学的一个分支幻方的发展，并远传世界各地，吸引了众多学者的研究热情。从中国的河图洛书，到法国的八阶平方幻方，到法国的128阶3重幻方，加拿大的64阶3重幻方，美国的32阶3重幻方，最后再回到中国的16阶3重幻方，历史好像也在旋转，今天终于回来了，回到了原来的起点上，在这个圆圈里，我们激动地看到，中国已经成为一条巨龙，屹立在世界的东方。

陕西延安教育学院 高治源