众 里 寻 她 千 百 度
――世界难题16阶3重幻方攻克历程
（ 汕头大学计算机系 陈钦梧
）
由于偶然的机会，我和我们系退休的陈沐天教授有了几次接触。谈话间我了解到他最近正迷于研究幻方的解。开始我对存在这样优美的幻方感到不可思议，按理说其存在的可能性是极其渺小（准确地说，即使有万亿个幻方，由于256!=8.6x10507，故存在的概率为10-495以下）的啊！
后来陈教授告诉我，他约花了一年时间，计算出11阶二次幻方，而德国人在3年前做出了12阶3重幻方。我问花这么多精力求解它有何意义？他告诉我不但可从中找到乐趣，而且有专家正在找到它的应用意义，比如算法的改进，并行处理、经济决策调度等。尽管我对此将信将疑，但后来听他讲，他又在求解16阶3重幻方。因为计算量极大，程序要运行很多天，并且要用一定策略调整减少计算量。现在他把程序分段运行，每天下午从6公里外进校来检查调整。于是我想将其程序移植到我实验室的P4 2.0电脑全32bit环境下运行，可明显提高速度。果然，程序移植成功，一下就提升了约20倍的速度，这使我们都很兴奋。
在接下来的接触中，陈教授介绍了他求解中用到的一些有效方法。渐渐地，我对问题有了初步认识。他用了一个16列已排列好满足要求的矩阵进行行的调整，故一行的计算量是1616≈1.8x1019，即使用当今最快的超级计算机来求解，也要花数年时间才能知道结果。所以我们必须研究寻找一些规律来约束减少计算量，使普通计算机在有限时间内就能求解。
为便于电脑处理，我们使用0——255的自然数。在分析该矩阵的结构及问题的特征后，我感到在其行上使两数和接近255进行组合，将最有可能满足解的要求，这样就使计算量下降到168≈4.3x109，目前我实验室的电脑就有能力在短时间内解决问题。由于两数和为255的互补数组合已被列上占用了，我想到使这两数高7位（二进制）相反，最低位相同（即Number2 = Number1 XOR $FE），相当于两偶数和为254，两奇数和为256，不但满足上述的要求，而且能从上述矩阵等价变换得到。
我将上述方法告诉陈教授，他说你不妨试试吧。当然由于进行上述变换要编程序，很复杂，所以我写了程序，让陈教授按此去求解，也许两三天就会有结果。陈教授深知问题的复杂性，他说没那么容易，多少年来很多人为此付出了不懈的努力和长时间的探索，却至今还没有完全求解出来。同时他又鼓励我自己去探索试试吧。
明知山有虎，偏向虎山行。在困难面前，我从来就没丧失过信心。相反，越是困难的事情，越能激起我的勇气。我将程序输入电脑进行调试，果然发现问题的复杂性比我预期的要大得多。经过几天的修改、调试，程序终于有了初步的结果。尽管没有全部16行都满足要求的解，却有很多很多满足条件的行。经反复调整，最多有8行能同时满足要求。于是我再编程序，将剩下8行的上述每两数组合拆开进行独立搜索。由于其运算量增加到816≈2.6x1014，在运行几天后仍未运行完，却没有能增加一行满足要求。
我苦苦思索，并编程测试，发现若自己独立构造矩阵，当两数互补（和为255）组合时，则很快能产生16列都符合要求的很多矩阵，程序运行几个小时就生成超过百万个而仍未运行完毕。当两数为偏补（即上述两偶数和及两奇数和为254、256）组合时，程序能在短时间内找到12行都同时符合要求的矩阵。因此，我将上述构成矩阵所剩4行的每两数组合拆开，重新调整程序进行搜索，然而由于各种排列组合很多，程序运行多天仍未找到全部16行满足要求的解。
我又苦思冥想检查程序的约束条件，想出了将上述调整行时，在同一列上取数的算法，改进为也可从相邻列上取数，果然增加了很多能同时12行满足要求的矩阵。由于计算量激增，几天过去，我同时开了几台电脑进行包抄，然而程序仍未运行完毕。虽然12行同时满足要求的很多，有几万个了，然而同时满足要求的仍然没有超过12行。
突破性进展出现在陈教授用我上述结果分析后得出的重要发现。在与陈教授交流的过程中，他几次将我以上数据拿去分析。当得知我做出了上述能12行同时符合要求及所剩4行和及平方和满足条件时，认为此结果非常有意义，已接近当今16阶幻方领先水平。
尽管是五·一长假，然而我和陈教授对幻方的研究仍未间断。在这次陈教授将数据拿去分析后第二天，他进校来验证其重要发现，并将其发现告诉了我：若同一行上8对偏补组合数满足要求，则必为4对偶数和4对奇数组合，并且这4对偶数、奇数组合的3重和分别为定值（和＝1016、1024，平方和＝172720、174760，立方和＝33032192、33553408）。
我又陷入沉思之中。若陈教授的发现是正确的，将极大的减少计算量。第二天，我编程验证，果然证明上述发现没错。并且，我又发现另一重要规律：若4对偶数组合3重和满足上述定值，则将各数简单加1变成4对奇数组合，其3重和也满足上述定值。这样，就使构成幻方的编程量又降低了一倍。
在对程序调整加上上述特征后，我很快得到能同时有14行满足要求的矩阵，离最终结果仅差两行之遥了。
难道不存在满足这种特征的全解吗？尽管仍然是五·一长假，我却为此疲于奔命。我又研究20、24、28、32阶3重幻方。24阶的有22行同时满足要求的，且多如牛毛，一天下来就有几十万个，但至今仍未完成；32阶的一下就有32行都满足要求的，但调整列时，因运算量巨大，暂无结果。
心有不甘，我又反思16阶3重幻方。由于早先计算量巨大，故搜索算法仅在同列及邻列取数。而如今程序很快结束，完全有能力编写全矩阵空间的搜索算法，以证明其解的存在性。
这天下午，我又编写新的程序。由于其复杂性，加上连续紧张的长时间思考，以及近来都没有充分休息，所以开始并不顺利，累得我头痛不已，只好边休息边想。最终，程序正确运行了，并很快出来结果。我检查结果，猛然看到有全部16行都满足要求的了，心中抑制不住特别的兴奋。正是：
众里寻她千百度。蓦然回首，那人却在，灯火阑珊处。
16行调整好后，16列及对角线的调整已如探囊取物。然而，由于中午没有休息，以及最后思虑过度，这时我头痛仍未减缓。现在，我该好好休息休息了。
晚上，经过几小时放松后，我的头痛才有了缓解。我接着将16列也排列好。
第二天上午，当我将此振奋人心的结果告诉陈教授时，他高兴得跳了起来。这次他破例上午进校来，并立即编写搜索对角线的程序。
功夫不负有心人。一个月的心血没有白费。经过多少个日夜奋斗，克服重重困难，我们终于有了完美结果。16阶3重幻方，多少人日思夜想追梦的幻方，当你悄然出现在这个世界上时，美丽，心中无法形容的无限美丽！
得知16阶3重幻方问世消息后，中国幻方研究者协会高治源主席、李抗强主席及法国朋友等都发来了热情洋溢的祝贺词。以下是部分来函：
陈钦梧先生：
知道你的成功，我感到十分高兴。因为16阶3重幻方是一项重要成就，幻方朋友已经研究了多年，是大家梦寐以求的结果。现在你与陈沐天教授长时间的努力奋斗与合作，不断改进调整方法，终于用计算机成功找到16阶3次幻方的解。这是一项令大家振奋的消息，为我们中国人赢得了荣誉，我代表中国幻方研究者协会，向你表示热烈的祝贺。
我们希望您尽早地发表这个成果。我们还希望你的成果在国际上得到承认，我们认识一个法国的朋友，他收集世界各地的幻方成果，你的成就正能为我们中国人大张志气。
延安教育学院高治源
陈钦梧先生：您好！
十六阶3重幻方，确实是难以攻克的堡垒。自一九九七年到现在，已经有了七个年头，多少幻方专家为它付出了大量的心血，您终于取得了成功。这是为我们中国人争了光，我以个人的名义并代表中国幻方研究者协会的广大幻方朋友，向您与您的合作者致以最热烈的祝贺，并祝愿您取得更大的成果。预祝您的成果能够得到国际上的公认。
协会的资金在王忠汉老先生处，我希望协会能够兑现原来所设置的奖金。当然，您不在乎这一点钱，我们说了的话应该兑现。
我已经将收到的邮件全部保存，拟在刊物上发表。
中国幻方研究者协会主席：李抗强
Dear friends,
I have checked your square, and yes it is a trimagic square.
Congratulations!
Your square has been added in the update done today of www.multimagie.com/indexengl.htm
Click on News of May
I understand, with your email addresses, that you are working at the
Are you students or teachers?Could
you explain how you have constructed your square?
Best regards from
Christian Boyer.
附：十六阶3重幻方
作者：陈钦梧 陈沐天
（汕头大学计算机科学实验室 http://cslab.stu.edu.cn）
33 29 27
25 145 82 84 114 141 171 173 110 230 228 226 222
51 39 123 63 233 109 206 218 37
49 146 22 192 132 216 204
177 167 225 211 168 244 150 41 214
105 11 87 44
30 88 78
124 200 4 248 111 90 48 102 153 207 165 144 7 251 55 131
195 179 175 231 198 58 95 240 15 160 197 57
24 80 76
60
61 77 81 117 246 213 113 14 241 142 42 9 138 174 178 194
202 252 106 126 96 43
12 101 154 243 212 159 129 149 3 53
118 54 70 188 209 235 19 163 92 236 20
46 67 185 201 137
254 98 184 66
65 75 237 93 162 18 180 190 189 71 157 1
136 156 250 128 23 181 170 17 238 85
74 232 127 5 99 119
130 134 182 186 8 172 35 239 16 220 83 247 69
73 121 125
52 2 148 68 191 147 242 155 100 13 108 64 187 107 253 203
223 227 229 139 158 196 143 36 219
112 59 97 116 26
28 32
0 120 72 6 47 164 161 152 103 94
91 208 249 183 135 255
79 89 31
45 86 10 104 215 40 151 245 169 210 224 166 176
205 217 133 193 56 21 221 140 115 34 234 199 62 122 38
50
主要性质：
1.
规格大小：n=16阶平面方阵；元素构成：遍历前 n2
个非负整数( Min=0；Max=255 )
相关网站：http://www.zhghf.com http://cslab.stu.edu.cn
http://cboyer.club.fr/multimagie
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