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各阶平方幻方相继问世自2006年1月14、16日,汕头大学陈钦梧成功构造成14、15阶平方幻方,解决两个百年历史难题后,2月初,陈钦梧、陈沐天又突破性构造成13阶平方幻方。随后,汕头大学陈钦梧、陈沐天等人,法国人Jacques Guéron,福州苏茂挺,西藏潘凤雏,延安高源等,又相继攻克其它阶平方幻方。至今,8阶到33阶平方幻方都已经全部构成,见幻方首创世界记录。

特高次幻方突破性进展2006年1月,潘凤雏成功构造出2^38阶13次及2^44阶14次幻方。这是巨大无比的理论幻方,若将其幻方数据展开,即使现今世界上所有的各种存储媒体合起来,也无法容得下!

世界首个完美平方幻方面世2006年2月,福州苏茂挺令人难以置信地构造出32阶完美平方幻方。此前,完美平方幻方是否存在还一直是个迷。

广义6阶平方幻方问世自1770年大数学家欧拉构造了第一个4阶平方数幻方以来,经过世界幻方研究者多年的努力,人们才相继构造成5、6、7阶平方数幻方,并一直在寻找5、6、7阶平方(2重)幻方。然而,直至今年2月,波兰Wroclaw大学的Jaroslaw Wroblewski才有幸用计算机解决了广义6阶平方幻方问题,而5、7阶平方幻方是否存在仍是个迷。

   

  高次幻方未解决世界难题之一 ,见www.multimagie.com/English/Problems.htm
  • Who will be the first to construct a bimagic square of order 13, 14 or 15? None is known. Or prove that it is impossible to construct such squares.
  • 14th-order bimagic and trimagic squares?

    No bimagic square known. Trimagic square impossible.

  • However, G. Pfeffermann, France, has constructed (published in 1894 by Commandant Coccoz, AFAS) this 14th-order non-normal bimagic square.
  • In August 2005, Jacques Guéron, France, constructed this 14th-order nearly bimagic square (using consecutive integers): only 2 columns and one diagonal are not bimagic.
  • 1894年,法国数学家G.Pfeffermann构造出广义(非常规)14阶平方幻方。我国李文也有相同成果。但直至2005年8月,法国人Jacques Guéron才构造出仅差二行及一条对角线的接近14阶平方幻方。2005年12月,Jacques Guéron又构造出仅差一条对角线的最接近14阶平方幻方。
  • 2006年1月16日,汕头大学计算机系陈钦梧成功解决这一百年难题
  • 36 8 103 68 151 166 104 28 190 55 168 78 61 149
    114 48 4 177 132 146 124 148 129 77 18 164 11 73
    33 57 44 9 141 120 189 183 111 59 80 43 158 138
    34 135 159 140 72 14 6 162 53 144 152 102 39 153
    150 193 171 67 15 84 63 76 115 119 89 26 21 176
    116 195 112 0 5 173 82 66 54 145 105 108 154 50
    181 109 155 42 157 20 113 37 92 69 41 32 191 126
    56 156 133 127 22 46 88 51 19 179 131 161 165 31
    65 106 95 110 47 100 58 192 91 178 1 174 136 12
    40 107 29 184 101 83 122 134 2 180 10 147 130 96
    74 49 90 123 142 121 182 13 167 25 163 3 85 128
    93 86 185 98 188 71 7 87 137 24 125 169 79 16
    187 17 62 160 75 27 175 70 35 81 143 64 97 172
    186 99 23 60 117 194 52 118 170 30 139 94 38 45
  • Excel文件

  •  
  •   高次幻方未解决世界难题之一 ,见上文
  • 15th-order bimagic and trimagic squares?

    No square known.

    However, Gaston Tarry, France, has published three different 15th-order "nearly" bimagic squares using consecutive numbers:

    • in Nouvelles Annales de Mathématiques, 1900
    • in Compte-Rendu de l'AFAS, 1903
    • in Sphinx-Oedipe, 1912

    His best one is the last one: the 15 rows are bimagic, the 15 columns are bimagic, but the 2 diagonals are "only" magic.

  • 1900,1903,1912年法国人Gaston Tarry在上述著作分别发表三个接近的15阶平方幻方。其最佳者是最后一个:仅二条对角线不满足二次幻方
  • 2003年, 法国人Christian Boyer调整好其中一条对角线,构造出仅差一条对角线的最接近15阶平方幻方。
  • 我国李文也有接近的15阶平方幻方成果。
  • 2006年1月14日,汕头大学计算机系陈钦梧成功解决这一百年难题
  • 159 27 193 145 140 57 101 216 15 100 42 30 186 91 178
    168 62 213 128 131 37 143 92 215 83 22 47 82 43 214
    184 45 105 106 98 17 51 163 52 125 176 188 219 4 147
    201 203 154 58 64 0 85 149 14 66 60 155 169 113 189
    223 7 171 95 39 74 110 199 190 24 59 67 120 146 156
    134 44 87 86 76 211 121 183 72 116 2 12 208 130 198
    97 161 204 3 115 175 18 174 32 136 196 29 153 80 107
    135 170 122 19 6 191 73 112 151 33 218 205 102 54 89
    117 144 71 195 28 88 192 50 206 49 109 221 20 63 127
    26 94 16 212 222 108 152 41 103 13 148 138 137 180 90
    68 78 104 157 165 200 34 25 114 150 185 129 53 217 1
    35 111 55 69 164 158 210 75 139 224 160 166 70 21 23
    77 220 5 36 48 99 172 61 173 207 126 118 119 179 40
    10 181 142 177 202 141 9 132 81 187 93 96 11 162 56
    46 133 38 194 182 124 209 8 123 167 84 79 31 197 65

    Excel文件

    作者:高治源(中国幻方研究者协会副主席)

    最新消息!News!

    • 14阶平方幻方问世:2006年1月16日,汕头大学陈钦梧成功解决这一百年难题

    • 15阶平方幻方问世:2006年1月14日,汕头大学陈钦梧成功解决这一百年难题

    世界上第一个幻方来自于中国,中国的洛书就是一个三阶幻方。但我国的幻方后来传到了国外,幻方多彩的变幻特征吸引了许多国外的数学家们。在16、17世纪,西方构造幻方就非常盛行。在19世纪末,幻方的研究发生了巨大的变化,在构造的难度上和奥妙的深度上都已大大超过以往。1890年左右一个叫G. Pfeffermann的法国人,首先发明了第一个八阶和九阶“平方幻方”,在1901年,法国数学家里利的专著中创作了200余幅平方幻方,从而展开了高次幻方研究的新开端,因为平方幻方的各行各列及两条对角线诸数的和、平方和均相等,表现出更高级的美妙,立即引起幻方迷们的重视。平方幻方的发展历史,就应该从法国人G. Pfeffermann谈起。

    那是在1891 年1月 15 日,法国的一个半月刊《Les Tablettes du Chercheur 》中,有一道难题引人注目,这正是法国人G. Pfeffermann发表了他在 1890 年构造的第一个平方幻方。但他并非完全地将他的奇巧发现告诉人们, 而是以一个难题的形式部份地呈现了这个平方幻方,如图1,是一个8阶方阵,给出了32个数字,你可以将1-64中的其它数字填入空格中,使8行8列及两条对角线诸数的和等于260,平方和等于11180吗?

    问题一出,大家异常惊讶,大部分人会怀疑这个事实,许多人努力了,但无法成功,只在等待下期的答案。两星期之后, Pfeffermann在杂志中自然发表了他的伟大成就。 本刊并发表了社论,称赞这是世界上第一个平方幻方(图2)。当时法国出名的 作家Edouard 卢卡斯(1842-1891)写文大加赞赏。这之后,G.Pfeffermann有了一定的名声, 1890 1896 之间,他发表了很多幻方文章。

    英国剑桥的路加博士和法国的珍-克劳德罗莎数学老师,分别证明了用非连续整数,3阶、4阶、5阶、6阶平方幻方都不存在,同样我们也看到我国的幻方爱好者张清全,用很简单的方法证明了四阶平方幻方的情况。要证明用连续自然数不能构造5阶平方幻方十分简单,因为我们只能找到下列8组平方和等于平方幻和的数组:G1=1,10,14,18,22;G2=2,8,14,20,21;G3=2,10,13,16,24;G4=4,5,16,18,22;G5=4,6,13,20,22;G6=4,8,10,21,22;G7=4,8,12,16,25;G8=5,6,12,18,24。而要构造5阶平方幻方需要12组数组。现在接近的5阶平方幻方,只有4条线成立。

    13-15阶平方幻方已经成为最热门的研究目标,早在1900,1903,1912年法国人Gaston Tarry在上述著作分别发表三个接近的15阶平方幻方。其最佳者是最后一个:仅二条对角线不满足二次幻方 ·  2003, 法国Christian Boyer对此作了改进,使这个幻方只有一条对角线不符合要求了,我国的李文也有同样的结果,15阶平方幻方的山顶只有一步之遥了。1894年,法国数学家G.Pfeffermann构造出广义(非常规)14阶平方幻方。但直至20058月,法国人Jacques Guéron才构造出仅差二行及一条对角线的接近14阶平方幻方。200512月,Jacques Guéron又构造出仅差一条对角线的最接近13阶、14阶平方幻方。

     2006117日早晨,笔者刚刚在睡梦中醒来,就接到了汕头大学计算机系陈钦梧、陈沐天两人的电话,他们分别高兴地告诉我:2006年1月14日,15阶平方幻方(图16)诞生了,1月16日14阶平方幻方(图17)也诞生了,三天当中,汕头大学陈钦梧成功解决两个长达一百年的难题。

    第一个16阶平方幻方是由 法国Gaston Tarry在1903.年构造的。 构造16阶平方幻方比较容易,许多人在探索16阶三次幻方过程中得到大量的16阶平方幻方。高治源的16阶行三次幻方、王忠汉、钱剑平的接近的16阶三次幻方,吉林滕越80多岁老人的16阶三次幻方探索手稿中,都有16阶平方幻方的成就。2005年5月,幻方爱好者梦寐以求的规则的16阶三次幻方终于问世了,2005年5月8号我们刚刚庆祝了中国幻方研究者协会成立七周年,在我国广东汕头大学有两位幻方研究工作者,他们的努力奋斗与合作,为我国幻方的发展创造了一项奇迹,这一天16阶三次幻方在汕头大学的一台电脑中诞生了,它来到这个世界上,似乎无声无息,但他却震撼了两位探索者的心,他们高兴得几乎要喊叫出来,多少年的盼望,多少个日日夜夜的奋战,多少次失败的考验,终于感动了上天,它终于悄然问世,这正是:众里寻她千百度……  蓦然回首,那人却在, 灯火阑珊处。从此 ,陈钦梧、陈沐天两人的名字,与16阶三次幻方连在一起,向世界各地传播!图18是16阶三次幻方。

    值得提到的是我国李文有许多研究平方幻方的公式,在中国幻方网站中,就发表了他的25阶平方幻方和35阶平方幻方。但他仍然有许多较高阶的平方幻方未发表。13阶平方幻方,17阶平方幻方,18阶、19阶、20阶平方幻方应该是人们下一步研究的热点,希望我国的幻方朋友再夺取新的成就。

    最后,我们谈谈完美平方幻方的问题,我们知道完美幻方具有更美妙的特性,它的每条泛对角线都等于幻和。自然,我们希望得到一个完美平方幻方,但人们努力许多年,没有什么结果。1903 年, Gaston Tarry得到了一个8阶平方幻方兼完美幻方,觉得很高兴,1939H. Schots, Belgium得到一个8阶完美幻方(19,其所有的泛对角线平方和相等,也是一次对完美平方幻方的努力

    下面是钱剑平的16阶泛对角线三次幻方(图20),这幅16阶完全幻方16行、16列及32条泛对角线全等于2056。它的32条泛对角线的平方、3次幂值全部相等。这是一个重要的成果,可以说是16阶三次幻方的一个对称幻方。  钱剑平在他的“有奖征解”(2003812日)公告中称:“预计,16阶(23)幻方存在,将对第一位取数1265编出者给于奖励,奖金标准人民币100元。(“2”指的是行列为2次;“3”指的是泛对角线为3次)”钱剑平的追求是执着的。

    平方幻方的发展,直接推动了高次幻方的研究热潮,三次幻方,四次幻方等,也在世界各地展开了竞争。值得我们中国幻方爱好者自豪的是,陈钦梧、陈沐天的16阶三次幻方,高源和吴硕辛的256阶四次幻方,李文、郭先强的729阶五次幻方,潘凤雏的243阶四次幻方、4096阶六次幻方和65536阶七次幻方都居于国际领先水平。在法国的一个高次幻方网站中,记录着世界各地的幻方成果,2003年元月,在国际高次幻方记录表中,只有三阶幻方属于中国幻方的成果,一年以后,20042月,这张表设计了一次至七次的幻方第一个发明者,这七项的最好记录中,中国人竟然独占了五项。我们可以骄傲地向世界宣告,幻方故乡的幻方学子们,赢得了最高荣誉。

     

    2006年1月的email

     

     

    众里寻她千百度...
    ---- 世界难题16阶三次幻方攻克历程
    汕头大学计算机系 陈钦梧

        这天下午,我又编写新的程序。由于其复杂性,加上连续紧张的长时间思考,以及近来都没有充分休息,所以开始并不顺利,累得我头痛不已,只好边休息边想。最终,程序正确运行了,并很快出来结果。我检查结果,猛然看到有全部 16 行都满足要求的了,心中抑制不住特别的兴奋。正是:

        众里寻她千百度。蓦然回首,那人却在,灯火阑珊处。

        16行调整好后,16列及对角线的调整已如探囊取物。然而,由于中午没有休息,以及最后思虑过度,这时我头痛仍未减缓。现在,我该好好休息休息了。晚上,经过几小时放松后,我的头痛才有了缓解。我接着将16列也排列好。 第二天上午,当我将此振奋人心的结果告诉陈教授时,他高兴得跳了起来。这次他破例上午进校来,并立即编写搜索对角线的程序。

        功夫不负有心人。一个月的心血没有白费。经过多少个日夜奋斗,克服重重困难,我们终于有了完美结果。16阶三次幻方,多少人日思夜想追梦的幻方,当你悄然出现在这个世界上时,美丽,心中无法形容的无限美丽!

        得知16阶三次幻方问世消息后,许多幻方研究者纷纷发来了热情洋溢的祝贺词

    附: 众里寻她千百度(全文)    十六阶三重幻方

    相关网站: http://cslab.stu.edu.cn http://cboyer.club.fr/multimagie/index.htm
    Email: qwchen@stu.edu.cn    电话: 07542902773    地址:汕头大学文西301

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