陈钦梧多重幻方

世界上第一个幻方来自于中国，中国的洛书就是一个三阶幻方。但我国的幻方后来传到了国外，幻方多彩的变幻特征吸引了许多国外的数学家们。在16、17世纪，西方构造幻方就非常盛行。在19世纪末，幻方的研究发生了巨大的变化，在构造的难度上和奥妙的深度上都已大大超过以往。1890年左右一个叫G. Pfeffermann的法国人，首先发明了第一个八阶和九阶“平方幻方”，在1901年，法国数学家里利的专著中创作了200余幅平方幻方，从而展开了多重幻方研究的新开端，因为平方幻方的各行各列及两条对角线诸数的和、平方和均相等，表现出更高级的美妙，立即引起幻方迷们的重视。平方幻方的发展历史，就应该从法国人G. Pfeffermann谈起。

那是在1891 年1月 15 日，法国的一个半月刊《Les Tablettes du Chercheur 》中，有一道难题引人注目，这正是法国人G. Pfeffermann发表了他在 1890 年构造的第一个平方幻方。但他并非完全地将他的奇巧发现告诉人们, 而是以一个难题的形式部份地呈现了这个平方幻方,如图1，是一个8阶方阵，给出了32个数字，你可以将1-64中的其它数字填入空格中，使8行8列及两条对角线诸数的和等于260，平方和等于11180吗？

问题一出，大家异常惊讶，大部分人会怀疑这个事实，许多人努力了，但无法成功，只在等待下期的答案。两星期之后, Pfeffermann在杂志中自然发表了他的伟大成就。本刊并发表了社论，称赞这是世界上第一个平方幻方（图2）。当时法国出名的作家Edouard 卢卡斯(1842-1891)写文大加赞赏。这之后，G.Pfeffermann有了一定的名声，在 1890 和 1896 之间，他发表了很多幻方文章。

英国剑桥的路加博士和法国的珍-克劳德罗莎数学老师，分别证明了用非连续整数，3阶、4阶、5阶、6阶平方幻方都不存在，同样我们也看到我国的幻方爱好者张清全，用很简单的方法证明了四阶平方幻方的情况。要证明用连续自然数不能构造5阶平方幻方十分简单，因为我们只能找到下列8组平方和等于平方幻和的数组：G1=1,10,14,18,22；G2=2,8,14,20,21；G3=2,10,13,16,24；G4=4,5,16,18,22；G5=4,6,13,20,22；G6=4,8,10,21,22；G7=4,8,12,16,25；G8=5,6,12,18,24。而要构造5阶平方幻方需要12组数组。现在接近的5阶平方幻方，只有4条线成立。

13-15阶平方幻方已经成为最热门的研究目标，早在1900,1903,1912年法国人Gaston Tarry在上述著作分别发表三个接近的15阶平方幻方。其最佳者是最后一个：仅二条对角线不满足二次幻方 · 在 2003, 法国Christian Boyer对此作了改进，使这个幻方只有一条对角线不符合要求了，我国的李文也有同样的结果，15阶平方幻方的山顶只有一步之遥了。1894年，法国数学家G.Pfeffermann构造出广义（非常规）14阶平方幻方。但直至2005年8月，法国人Jacques Guéron才构造出仅差二行及一条对角线的接近14阶平方幻方。2005年12月，Jacques Guéron又构造出仅差一条对角线的最接近13阶、14阶平方幻方。

2006年1月17日早晨，笔者刚刚在睡梦中醒来，就接到了汕头大学计算机系陈钦梧、陈沐天两人的电话，他们分别高兴地告诉我：2006年1月14日，15阶平方幻方（图16）诞生了，1月16日14阶平方幻方（图17）也诞生了，三天当中，汕头大学陈钦梧成功解决两个长达一百年的难题。

第一个16阶平方幻方是由法国Gaston Tarry在1903.年构造的。构造16阶平方幻方比较容易，许多人在探索16阶三次幻方过程中得到大量的16阶平方幻方。高治源的16阶行三次幻方、王忠汉、钱剑平的接近的16阶三次幻方，吉林滕越80多岁老人的16阶三次幻方探索手稿中，都有16阶平方幻方的成就。2005年5月，幻方爱好者梦寐以求的规则的16阶三次幻方终于问世了，2005年5月8号我们刚刚庆祝了中国幻方研究者协会成立七周年，在我国广东汕头大学有两位幻方研究工作者，他们的努力奋斗与合作，为我国幻方的发展创造了一项奇迹，这一天16阶三次幻方在汕头大学的一台电脑中诞生了，它来到这个世界上，似乎无声无息，但他却震撼了两位探索者的心，他们高兴得几乎要喊叫出来，多少年的盼望，多少个日日夜夜的奋战，多少次失败的考验，终于感动了上天，它终于悄然问世，这正是：众里寻她千百度…… 蓦然回首，那人却在，灯火阑珊处。从此，陈钦梧、陈沐天两人的名字，与16阶三次幻方连在一起，向世界各地传播！图18是16阶三次幻方。

值得提到的是我国李文有许多研究平方幻方的公式，在中国幻方网站中，就发表了他的25阶平方幻方和35阶平方幻方。但他仍然有许多较高阶的平方幻方未发表。13阶平方幻方，17阶平方幻方，18阶、19阶、20阶平方幻方应该是人们下一步研究的热点，希望我国的幻方朋友再夺取新的成就。

最后，我们谈谈完美平方幻方的问题，我们知道完美幻方具有更美妙的特性，它的每条泛对角线都等于幻和。自然，我们希望得到一个完美平方幻方，但人们努力许多年，没有什么结果。1903 年， Gaston Tarry得到了一个8阶平方幻方兼完美幻方，觉得很高兴，1939年H. Schots, Belgium得到一个8阶完美幻方（图19），其所有的泛对角线平方和相等，也是一次对完美平方幻方的努力。

下面是钱剑平的16阶泛对角线三次幻方（图20），这幅16阶完全幻方16行、16列及32条泛对角线全等于2056。它的32条泛对角线的平方、3次幂值全部相等。这是一个重要的成果，可以说是16阶三次幻方的一个对称幻方。钱剑平在他的“有奖征解”（2003年8月12日）公告中称：“预计，16阶（2、3）幻方存在，将对第一位取数1至265编出者给于奖励，奖金标准人民币100元。（“2”指的是行列为2次；“3”指的是泛对角线为3次）”钱剑平的追求是执着的。

平方幻方的发展，直接推动了多重幻方的研究热潮，三次幻方，四次幻方等，也在世界各地展开了竞争。值得我们中国幻方爱好者自豪的是，陈钦梧、陈沐天的16阶三次幻方，高源和吴硕辛的256阶四次幻方，李文、郭先强的729阶五次幻方，潘凤雏的243阶四次幻方、4096阶六次幻方和65536阶七次幻方都居于国际领先水平。在法国的一个多重幻方网站中，记录着世界各地的幻方成果，2003年元月，在国际多重幻方记录表中，只有三阶幻方属于中国幻方的成果，一年以后，2004年2月，这张表设计了一次至七次的幻方第一个发明者，这七项的最好记录中，中国人竟然独占了五项。我们可以骄傲地向世界宣告，幻方故乡的幻方学子们，赢得了最高荣誉。

2006年1月的email

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